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FilosofíaMatemáticasBiografía

Gödel, Kurt (1906-1978).

Matemático estadounidense de origen checoslovaco nacido en Brno (Moravia) el 28 de abril de 1906 y fallecido en Princeton, New Jersey, el 14 de enero de 1978.

Kurt Gödel.

Vida

Cursó sus primeros estudios en la escuela de su ciudad natal, donde destacó en todas las materias como un alumno de capacidad intelectual privilegiada. Una vez finalizada su primera formación en 1923, se trasladó a Viena en 1924 para ingresar en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de esa ciudad; allí tuvo como profesores a figuras de la talla de Furtwängler, Hahn, Wirtinger, Menger y Helly, entre otros. Participó por aquel entonces en un seminario dirigido por M. Schlick sobre el libro Introducción a la Filosofía matemática, de B. Russell, y ello supuso su primer contacto con los miembros del Círculo de Viena (véase el apartado "El positivismo lógico o neopositivismo" en la voz Positivismo). En 1929 se doctoró y en 1930, finalizados ya sus estudios, obtuvo una plaza de profesor en la Universidad de Viena, en la que había estudiado. Fue un año después, en 1931, cuando publicó su famoso teorema de incompletitud (vid. infra), con el título Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathemathica und verwandter Systeme (Sobre las proposiciones formalmente indeterminables de los Principia Mathemathica y sus sistemas derivados), que apareció en la revista Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 38 (1931). También en 1931, durante una estancia en Bad Elster, tuvo oportunidad de conocer a Zermelo. Éste estaba convencido de que él ya había conseguido antes que Gödel el logro por el que luego fue tan admirado este último, y por ello el encuentro entre ambos matemáticos no supuso el comienzo de una verdadera amistad científica entre ellos.

Gödel demostró la inconsistencia formal de las matemáticas.

En 1933, Hitler llegó al poder. Tal circunstancia no pareció tener, en principio, ningún efecto sobre la vida en Viena de Gödel, un personaje -por otra parte- que carecía de cualquier interés por la política. Sin embargo, Schlick, cuyo seminario había puesto en Gödel el germen de su interés por la lógica, fue asesinado ese mismo año por un estudiante adscrito al movimiento nacionalsocialista, y ello supuso un fuerte golpe para Gödel y le provocó la primera de una serie de crisis nerviosas que le afectaron durante un tiempo. Cuando estaba reponiéndose, recibió la primera llamada desde Estados Unidos para ofrecerle una estancia como profesor invitado en Princeton. Así, en 1934, Gödel impartió en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton una serie de clases sobre la indecibilidad de las proposiciones en los sistemas matemáticos formales. Kleene, un alumno que acababa de terminar el doctorado, tomó cuidadosa nota de aquellas clases y sus contenidos se pudieron publicar posteriormente. Desde 1935, Gödel se convirtió en miembro permanente de dicho Instituto.

Kurt Gödel y Albert Einstein, quienes se conocieron en Princeton.

De regreso a Viena, Gödel se casó en 1938 con Adele Porkert, pero cuando estalló la guerra se vio obligado a regresar a Estados Unidos, no sin hacer frente antes a importantes dificultades que le impedían abandonar su país (de hecho, tuvo que dar un rodeo a través de Rusia y Japón para llegar a América). En 1940, emigró definitivamente a Estados Unidos y en 1948 adquirió la nacionalidad de ese país. Fue nombrado catedrático del instituto citado en 1953, cargo que ejerció hasta su muerte. En 1974 le fue concedida la Medalla Nacional de Ciencias. Aparte de diversos artículos que aparecieron en revistas, la única obra que publicó se titula The Consistency of the Continuum Hypothesis (La consistencia de la hipótesis del continuo), y vio la luz en 1940.

Hacia el final de su vida, tras habérsele diagnosticado una úlcera duodenal que le obligó a mantener permanentemente una severa dieta, Gödel se obsesionó con la idea de que estaba siendo envenenado y se negó a comer cualquier tipo de alimento. Murió de inanición voluntaria en 1978.

El teorema de incompletitud y otras aportaciones de Gödel a la lógica

Kurt Gödel es una de las figuras más importantes de toda la historia de la lógica. Todos sus trabajos fueron revolucionarios tanto en sus resultados como en los métodos que empleó para obtenerlos. Entre los resultados que podrían ser calificados de "menores" se encuentran el hallazgo de que la aritmética intuicionista es equivalente a la clásica, así como el descubrimiento de que es posible interpretar la lógica intuicionista en la lógica modal clásica.

Deben atribuirse a Gödel dos grandes resultados metodológicos: el primero data de 1930 y es la demostración de la completitud semántica del cálculo de predicados; es decir, la demostración de que la noción de ley lógica entendida como proposición verdadera en todos los mundos posibles coincide con la noción de proposición demostrable desde un punto de vista formal en el cálculo de predicados. El segundo, publicado en 1931, es su famoso teorema de incompletitud.

Hasta la fecha en que el planteamiento del teorema vio la luz, existía una opinión generalizada de que era posible llevar a cabo el programa de axiomatización completa de la matemática propuesto por D. Hilbert. Ello implicaba la posibilidad de encontrar un sistema de lógica que pudiera abarcar la matemática clásica y la posibilidad asimismo de probar que ese sistema era completo (esto es, dada una fórmula de ese sistema, puede determinarse si ella o su negación pertenecen o no a dicho sistema o son deducibles de él) y consistente (no existe ninguna fórmula en el sistema de la que pueda probarse tanto su verdad como su falsedad). Lo que vino a demostrar el teorema publicado por Gödel en 1931 fue que tal suposición era totalmente infundada, ya que probó que un sistema lógico con la suficiente riqueza para posibilitar la axiomatización de las matemáticas (como el sistema de los Principia mathematica o la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo, Fraenkel y Von Neumann) es esencialmente incompleto, por albergar al menos un enunciado o teorema no decidible en el sistema, es decir, un enunciado o teorema cuya afirmación y negación son ambas indemostrables sobre la base de los axiomas de ese sistema.

Para enunciar su teorema, Gödel se valió de lo que se ha llamado aritmetización de la sintaxis, o lo que es lo mismo, correlacionó cada uno de los signos de un cálculo dado con números de la aritmética natural elemental. Ello le permitió asociar cada fórmula del cálculo con un número único y representar enunciados matemáticos acerca del cálculo numéricamente. Así, pudo expresar los metateoremas de la sintaxis de un cálculo dado mediante teoremas numéricos y probarlos dentro de esa teoría numérica. Sin embargo, Gödel encontró un enunciado relativo a una fórmula aritmética que afirmaba que tal fórmula no es demostrable en la teoría. Como ese enunciado puede representarse a su vez con un número correspondiente a una fórmula aritmética, entonces puede probarse que la fórmula es demostrable si y sólo si la negación de la misma fórmula es también demostrable.

Todo lo anterior viene a significar que incluso en un sistema basado en los Principia Mathematica, en el que solamente se expresaran resultados aritméticos básicos, sería posible encontrar una proposición q para la que no pudiera demostrarse ni q ni no-q. El teorema desvaneció así cualquier esperanza puesta en el logicismo y propició un tratamiento de la teoría de conjuntos independiente de la lógica.

Otro de los grandes logros de Gödel es el contenido de la obra citada más arriba, La consistencia de la hipótesis del continuo, en la que demuestra que la hipótesis del continuo puede añadirse, sin caer en contradicción, al resto de los principios de la teoría de conjuntos. Gödel demuestra que si la teoría axiomática de conjuntos no es contradictoria, entonces tampoco lo es cuando se le agrega la hipótesis del continuo como un nuevo axioma.

Autor

  • Ana Isabel Hernández González